Special values of generalized multiple Hurwitz zeta functions and their derivatives. Applications towards some Witten zeta functions attached to semi-simple Lie algebras
Valeurs aux entiers négatifs de fonctions multizêta de type Hurwitz généralisées et de leurs dérivées. Applications à certaines fonctions zêta de Witten rattachées à des algèbres de Lie semi-simples
Résumé
The goal of this thesis is to provide explicit formulas for directional values and directional derivative values of generalized Hurwitz multizeta functions at non positive integers. We will express the directional values of these multizeta functions in terms of Bernoulli polynomials. Furthermore, we will express the directional derivative values of these multizeta functions in terms of Bernoulli polynomials, of values at nonpositive integer values of the derivative with respect to the variable s of the Hurwitz zeta function, and of values at nonpositive integers of the derivative of some generalized Barnes zeta functions.
As a first application, we will determine formulas for the values at s=0 of the Witten zeta function associated with g2 and its derivative, as well as values at s=0 of the Witten zeta function associated with so(5), and its derivative. In particular, we will find an explicit asymptotic formula for the number of representations of the exceptional Lie algebra g2 by combining our result with a generalized Meinardus-type theorem proved by Bridges, Brindle, Bringmann, and Franke.
As a second application, we will determine explicit formulas for Shintani's multigamma functions in terms of Barnes' multigamma functions.
Le but de cette thèse est de fournir des formules explicites pour les valeurs directionnelles et les valeurs des dérivées directionnelles de fonctions multizêta de Hurwitz généralisées en des multi-entiers négatifs. On exprimera en particulier les valeurs directionnelles de ces fonctions multizêta en fonction de polynômes de Bernoulli. De plus, on exprimera les valeurs des dérivées directionnelles de ces fonctions multizêta en fonction de polynômes de Bernoulli, de valeurs aux entiers négatifs de la dérivée suivant la variable $s$ de la fonction zêta d'Hurwitz, et de valeurs aux entiers négatifs de la dérivée de certaines fonctions zêta de type Barnes généralisé.
Comme première application, on déterminera des formules pour les valeurs en $s=0$ de la fonction zêta de Witten $\zeta_{\mathfrak{g}_2}$ et de sa dérivée, ainsi que des valeurs en s=0 de la fonction zêta de Witten $\zeta_{\mathfrak{so}(5)}$ et de sa dérivée. On trouvera en particulier une formule asymptotique explicite du nombre de représentations de l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}_2$ en combinant nos résultats avec un théorème de type Meinardus généralisé obtenu par Bridges, Brindle, Bringmann et Franke.
Comme seconde application, on déterminera des formules explicites des fonctions multigamma de type Shintani via des fonctions multigamma de type Barnes.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)